Дистанционно регулярные антиподальные накрытия полных графов образуют обширный класс графов, который тесно связан со многими важными алгебраическими или комбинаторными объектами, такими как обобщенные матрицы Адамара, проективные плоскости, обобщенные четырехугольники, делимые дизайны и коды. Кроме того, такие накрытия оказываются источником некоторых специальных множеств равноугольных прямых (ETFs, SIC-POVMs), применяемых в дискретной геометрии и квантовой теории информации. Несмотря на то, что полное их описание представляется недостижимым, можно надеяться на получение новых их конструкций и частичную классификацию при дополнительных ограничениях групповой природы.

Доклад посвящен исследованию реберно-транзитивных дистанционно регулярных антиподальных накрытий полных графов. Пусть $\Gamma$ --- это такое накрытие и $G$ --- это его полная группа автоморфизмов. Обозначим через $\Omega$ и $\mathcal{S}$ множество вершин накрытия $\Gamma$ и множество орбиталов группы $G$ на $\Omega$ соответственно. Тогда пара ${\rm Inv}(G)=(\Omega,\mathcal{S})$ образует шурову схему отношений, ассоциированную с группой $G$.
При этом множество дуг накрытия является объединением набора из не более двух орбиталов группы $G$ и кроме того, $G$ индуцирует $2$-однородную группу подстановок $G^{\Sigma}$ на множестве $\Sigma$ антиподальных классов накрытия $\Gamma$, которая ввиду теорем Кантора и Бернсайда является либо почти простой, либо аффинной. В данном докладе будут представлены результаты автора по классификации накрытий $\Gamma$, полученные в обоих указанных случаях для $G^{\Sigma}$, а также по их характеризации как графов базисных отношений схем ${\rm Inv}(G)$ в случае, когда $G^{\Sigma}$ --- почти простая группа.